Yeşil Göz Mantık Bulmacası: 100 Esir Nasıl Kaçıyor?

Bir adada yaşayan 100 esirin tamamının gözleri yeşil. Ancak hiçbiri kendi göz rengini bilmiyor; birbirleriyle konuşmaları da yasak. Esirler her sabah yoklamada birbirlerini görebiliyor, fakat göz rengi hakkında doğrudan bilgi paylaşamıyor. Adadan yalnızca gece ayrılmak için gardiyanlardan izin isteyebiliyorlar. Gözleri yeşil olanların isteği kabul ediliyor; diğerleri ise ölümcül bir sonuçla karşılaşıyor.

Kurallara göre adaya gelen bir kişi, esirlere yalnızca tek bir açıklama yapabiliyor. Üstelik bu açıklamanın, onların bilmediği yeni bir gerçeği içermemesi gerekiyor. Ziyaretçi, “En az birinizin gözleri yeşil” diyor. Esirlerin hepsi zaten birbirlerinin gözlerini gördüğü için bu söz ilk anda yeni bir bilgi vermiyor gibi duruyor. Buna rağmen 100. gece geldiğinde herkes adadan ayrılmayı başarıyor.

İki esirden başlayan çıkarım

Bulmacanın anahtarı, esirlerin yalnızca gözlemlediklerini değil, başkalarının da ne gözlemlediğini hesaba katması. Bunu görmek için önce adada iki esir olduğunu düşünelim. Her biri karşısındaki kişinin yeşil gözlü olduğunu görüyor. Eğer kendisi yeşil gözlü değilse, diğer kişinin adadan ayrılacağını varsayabilir.

İlk gece kimse gitmezse, her esir karşısındakinin de beklediğini fark eder. Bu bekleyiş, iki kişinin de kendi göz rengi hakkında aynı çıkarımı yapmasına imkân verir: Diğeri, kendisinin de yeşil gözlü olduğunu düşünmüş olmalı. Böylece ikisi de yeşil gözlü olduklarını anlar ve ikinci gece adadan ayrılır.

Burada belirleyici olan, ilk gece yaşananların ertesi sabah görülebilmesi. Kimsenin ayrılmadığını görmek, herkese yeni bir çıkarım olanağı verir. Esirler birbirleriyle konuşamaz ama adadan ayrılan olup olmadığını gözlemleyebilir.

Her gece bir basamak daha

Üç esir olduğunda her biri diğer iki kişinin yeşil gözlü olduğunu görür. Ancak bu gözlem tek başına kendi göz rengini kesinleştirmez. İlk geceyi beklerler. Eğer içlerinden biri yeşil gözlü değilse, diğer iki kişi birbirini görecek ve iki kişilik senaryodaki gibi ilk geceden sonra kendi göz renklerini anlayıp ikinci gece ayrılacaktır.

İkinci sabah da kimsenin gitmediğini gören her esir, bu olasılığın gerçekleşmediğini anlar. Demek ki kendisi de yeşil gözlüdür. Üç kişi de aynı sonuca ulaştığı için üçüncü gece adadan çıkar.

Aynı akıl yürütme daha fazla kişiye de uygulanır. Eğer adada n yeşil gözlü esir varsa, her biri diğer n−1 kişiyi görür. Kendi gözleri yeşil değilmiş gibi düşündüklerinde, diğerlerinin n−1 kişilik bir grup oluşturduğunu varsayarlar. Bu grubun, n−1. gece ayrılması gerekir. O gece kimse gitmezse varsayım boşa çıkar; bekleyen herkes kendi gözlerinin de yeşil olduğunu anlar.

“En az biriniz” cümlesi neyi değiştiriyor?

Esirler, adada en az bir yeşil gözlü kişi bulunduğunu zaten görüyor. Cümlenin etkisi, bu gerçeği ilk kez ortaya çıkarmasında değil; herkesin bu bilginin ortak bilgi hâline geldiğini bilmesini sağlamasında yatıyor. Başka bir deyişle, her esir artık diğerlerinin de bu ifadeyi duyduğunu ve diğerlerinin bunu bildiğini hesaba katabiliyor. Bu ortak başlangıç noktası olmadan bekleyiş zinciri kurulamaz.

Adada 100 kişi bulunduğu için her biri diğer 99 esiri görür. İlk 99 gece boyunca kimsenin ayrılmaması, her gece bir basamak daha ileri giden çıkarımı destekler. 100. gece geldiğinde esirler kendi gözlerinin de yeşil olduğunu anlar ve aynı gece izin ister. Dolayısıyla tek cümle, doğrudan yeni bir göz rengi bilgisi vermese de herkesin birbirinin bilgisini nasıl değerlendireceğini değiştirir.

Bulmaca, mantık sorularında “herkesin bildiği” bilgiyle “herkesin herkesin bildiğini bildiği” bilgi arasındaki farkı gösteriyor. Esirlerin aynı sonucu aynı anda bulmasını sağlayan, bu ortak bilgi zinciri ve her sabah yapılan gözlemler.